Questo progetto sviluppa una teoria matematica della complessità campionaria (sample complexity), cioè delle misurazioni finite, per i problemi inversi nelle equazioni alle derivate parziali (PDE).

I problemi inversi sono onnipresenti nella scienza e nell’ingegneria e si presentano quando una quantità deve essere ricostruita a partire da misurazioni indirette. Quando la fisica svolge un ruolo fondamentale nella descrizione di un problema inverso, il modello matematico è basato su una PDE. Molte tecniche di imaging rientrano in questa categoria, tra cui l’ecografia, la tomografia a impedenza elettrica e la tomografia fotoacustica. A seconda del dominio fisico considerato, possono entrare in gioco diverse tipologie di PDE.

Attualmente esiste un notevole divario tra teoria e pratica: tutti i risultati teorici richiedono un numero infinito di misurazioni, mentre negli studi applicati e nelle implementazioni pratiche viene effettuato soltanto un numero finito di misurazioni. Sosteniamo che questo divario sia cruciale, poiché il numero di misurazioni disponibili è generalmente limitato, con importanti conseguenze sulla scelta delle misurazioni, sulle ipotesi a priori relative alle quantità incognite e sugli algoritmi di ricostruzione. Molte tecniche sicure ed efficaci hanno avuto una diffusione limitata proprio a causa della scarsa qualità della ricostruzione.

Attraverso un approccio multidisciplinare, che combina metodi provenienti dalla teoria delle PDE, dall’analisi numerica, dall’elaborazione dei segnali, dal compressed sensing e dal machine learning, il progetto intende colmare questo divario sviluppando una teoria della complessità campionaria per i problemi inversi basati su PDE.

Ciò consente di elaborare una nuova teoria matematica dei problemi inversi per PDE fondata su ipotesi realistiche, con un impatto significativo sull’implementazione di numerose tecniche di imaging, guidando la scelta sia delle informazioni a priori sia delle misurazioni da effettuare. Di conseguenza, le tecniche di imaging emergenti potranno avvicinarsi maggiormente all’utilizzo pratico e diffuso.

Come risultato collaterale, il progetto ha lo scopo di ottenere nuovi risultati nel campo del compressed sensing, validi per una vasta classe di problemi, inclusi quelli non lineari, mal posti (ill-posed) e soggetti a vincoli di sparsità. La collaborazione con esperti dei settori rilevanti garantisce il successo del progetto.