GEOMETRIA SUPERIORE 2

GEOMETRIA SUPERIORE 2

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Codice
42923
ANNO ACCADEMICO
2021/2022
CFU
7 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/03
LINGUA
Italiano (Inglese a richiesta)
SEDE
GENOVA (MATEMATICA)
periodo
1° Semestre

PRESENTAZIONE

Il corso darà un'introduzione alle categorie triangolate e alle categorie derivate di categorie abeliane, con l'obiettivo di studiare la categoria derivata dei fasci coerenti su una varietà proiettiva. La domanda che guiderà il corso è: varietà proiettive non isomorfe possono avere categorie derivate equivalenti? Il Teorema di Bondal-Orlov risponde affermativamente per varietà con fibrato canonico (anti)ampio, ma un esempio di Mukai dimostra che questo risultato è falso in generale.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è di introdurre le categorie triangolate e le categorie derivate, e di mostrare alcuni profondi legami tra la teoria delle categorie e la geometria algebrica. Si tratta di un corso basato sui precedenti corsi di geometria, il cui scopo è fornire agli studenti la conoscenza di alcuni strumenti moderni e molto utilizzati nell ricerca attuale in geometria

PREREQUISITI

I prerequisiti necessari per seguire il corso sono: teoria delle categorie di base (nozione di categoria e di funtore), elementi di algebra superiore (in particolare i moduli su un anello e l'omologia), fasci e varietà algebriche (così come viste ad esempio nel corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2 o nel corso di Geometria Superiore 1)

Modalità didattiche

L'insegnamento avverà in maniera tradizionale, senza distinzione tra esercitazioni e teoria.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Richiami di teoria delle categorie. Categorie abeliane ed esempi fondamentali: categoria dei moduli su un anello commutativo, categoria dei fasci (quasi-)coerenti su una varietà proiettiva. 

2. Categorie triangolate: assiomi ed esempi. La categoria derivata di una categoria abeliana: costruzione, struttura di categoria triangolata. Categorie derivate limitate.

3. Funtori tra categorie triangolate. Funtori derivati tra categorie derivate. Funtori di Serre.

4. Varietà a divisore canonico (anti)ampio e Teorema di Bondal-Orlov

5. Funtori di Fourier-Mukai, esempi e risultati principali. Funtori di Fourier-Mukai e equivalenze. Esempio di Mukai.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Il testo di riferimento principale per il corso è il libro di D. Huybrechts, Fourier-Mukai functors in Algebraic Geometry, Oxford University Press (2006)

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

Modalità didattiche

L'insegnamento avverà in maniera tradizionale, senza distinzione tra esercitazioni e teoria.

ORARI

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

ESAMI

Modalità d'esame

L'esame sarà a seminario: ogni studente dovrà preparare un argomento correlato al corso, proposto dal docente o scelto autonomamente, che dovrà poi esporre in forma di seminario