ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

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Ultimo aggiornamento 18/06/2021 09:34
Codice
66453
ANNO ACCADEMICO
2021/2022
CFU
7 cfu al 3° anno di 8760 MATEMATICA (L-35) GENOVA

7 CFU al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA

7 CFU al 2° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA

SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/03
SEDE
GENOVA (MATEMATICA )
periodo
2° Semestre
materiale didattico

PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introduzione alle varietà algebriche affini e proiettive; curve affini e proiettive complesse; introduzione alle superfici di Riemann.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo del corso è di fornire un'introduzione alla teoria delle superfici di Riemann, da una porspettiva topologica, analitica, geometrica e algebrica. Uno dei punti salienti di queste idee sarà il teorema di Riemann-Roch, la cui applicazione principale è mostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è in realtà una curva algebrica proiettiva liscia. Inoltre questo ci condurrà direttamente nel regno della geometria algebrica e il nostro obiettivo è discutere alcuni dei principi di base di questo campo con l'attenzione principale sulla corrispondenza tra l'algebra degli anelli e la geometria delle soluzioni delle equazioni polinomiali.  Il messaggio più importante e unificante del corso è che è concepito come un luogo d'incontro ideale per la topologia, l'analisi, la geometria e l'algebra e mostra di conseguenza l'unità della matematica.

 

PREREQUISITI

Conoscenze di base di topologia, analisi complessa e algebra commutativa sono benvenute, ma non strettamente necessarie.

Modalità didattiche

In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Superfici di Riemann includendo molti esempi. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann. Molteplicità, grado, teorema di Riemann-Hurwitz e il genere di una curva piana proiettiva liscia. Funzioni meromorfe e divisori su superfici di Riemann. Sistemi lineari e loro connessione alle mappe olomorfe a spazi proiettivi. Forme differenziali e il teorema di Riemann-Hurwitz per esse. Il teorema di Riemann-Roch e le sue numerose applicazioni con l'obiettivo principale di dimostrare che qualsiasi superficie di Riemann compatta è una curva algebrica proiettiva liscia. Varietà algebriche e loro connessioni con anelli noetheriani. La topologia di Zariski e il dimensione di una varietà algebrica. Varietà proiettive e anelli graduati associati. Il teorema di Bézout e le sue conseguenze sulla geometria delle curve sui numeri complessi e anche sui numeri reali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

  •    R. Cavalieri and E. Miles - "Riemann surfaces and algebraic curves", Cambridge University Press, 2016.
  •    A. Gathmann -  "Algebraic geometry" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2019.pdf)
  •    A. Gathmann - "Plane algebraic curves" (dispense su https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf)
  •    F. Kirwan - "Complex algebraic curves", Cambridge University Press, 1992.
  •    R. Miranda - "Algebraic curves and Riemann surfaces", American Mathematical Society, 1995.
  •    I. R. Shafarevich - "Basic algebraic geometry I", Springer-Verlag, 1994, 2013.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

VICTOR LOZOVANU (Presidente)

ARVID PEREGO

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

LEZIONI

Modalità didattiche

In presenza o su Team, a seconda della situazione pandemia e normativa.

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

ESAMI

Modalità d'esame

Orale

Modalità di accertamento

Prova orale (comprendente seminario a scelta dello studente tra argomenti consigliati).

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata.
Comunque essenziale (come per la quasi totalità dei corsi).