METODI MATEMATICI IN RELATIVITA' GENERALE

METODI MATEMATICI IN RELATIVITA' GENERALE

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iten
Codice
90700
ANNO ACCADEMICO
2020/2021
CFU
5 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA

5 CFU al 3° anno di 8760 MATEMATICA (L-35) GENOVA

SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/07
LINGUA
Italiano
SEDE
GENOVA (MATEMATICA)
periodo
1° Semestre
moduli
Questo insegnamento è un modulo di:
materiale didattico

PRESENTAZIONE

Questo corso propone una presentazione della Relatività Generale, cioè la teoria relativistica della gravitazione, pubblicata da Einstein in 1916. Oltre alle classiche applicazioni alla fisica (cosmologia, lente gravitazionale, bucchi neri), l'accento sarà messo sulla matematica necessaria ad una formulazione rigorosa della teoria (la geometria differenziale pseudo-Riemanniana) e su alcuni ulteriori svilupi matematici ispirati  dalla teoria stessa.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

In questo insegnamento verranno studiati alcuni elementi di geometria differenziale utili a formalizzare rigorosamente la teoria della relatività generale. Più precisamente si studieranno i concetti di connessione e curvatura in spazi pseudo Riemanniani, verranno inoltre discusse le equazioni di Einstein e alcune loro soluzioni. In particolare si tratteranno le soluzioni linearizzate per descrivere le onde gravitazionali e le soluzioni sfericamente simmetriche per descrivere l'attrazione gravitazionale degli oggetti sferici.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo del corso è fornire gli strumenti matematici necessari alla formulazione dei fondamenti concettuali della relatività generale.

L'obiettivo è di mostrare come matematica e fisica si articolano in modo armonioso:

- da una parte fare capire come, e perchè, la geometria differenziale è lo strumento adeguato per formulare in modo rigoroso le intuizioni fisiche alla base della teoria (in particolare il principio di equivalenza);

- d'altra parte mostrare che la formulazione finale della teoria (le equazioni di Einstein del campo gravitazionale) portano a nuovi sviluppi matematici (la nozione di singolarità).

Modalità didattiche

Tradizionale.

Aggiornamento covid: la didattica sarà accessibiile in totalità online (probabilmente tramite sessioni Teams in diretta, con possibilità di registrareper chi vuole).

Possibilmente, secondo la situazione dell'epidemia a settembre, saranno organizzati un paio di incontri in presenza (facoltative) per discussione, domande etc.

PROGRAMMA/CONTENUTO

0. Introduzione scientifico-storica alla teoria della Relatività Generale.

1. Fondamenti della Relatività Generale

  • Relatività speciale: trasformazione di Lorentz, spazio-tempo di Minkowski, quadrivettori, cinematica.
  • Geometria (pseudo)-riemanniana: varietà, vettori, tensori, connessione, curvatura, metrica.
  • Fondamenti della Relatività Generale: moto nel campo gravitazionale, equazioi di Einstein.

2.  Soluzioni e applicazioni

  • Soluzione linerizzata: approssimazione Newtonianna, onde gravitazionale.
  • Soluzione di Schwarzschild: redshift gravitazionale, precessione del perielio, deviazione della luce e lente gravitazionale, singolarità e bucchi neri.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Gli appunti (dettagliati) del corso sono accessibili all'inizio del corso, su aulaweb. Per approfondimento:

 "General Relativity", R. M. Wald, The University of Chicago Press (1984) [la referenza di base, però piuttosto per gli argomenti avanzati].

“Geometry, topology and physics”, M. Nakahara, IOP (1990) [per la geometria differenziale],

"Gravitation and cosmology: principle and applications of the general theory of relativity", S. Weinberg, J. Wiley & Sons (1972) [la migliore referenze per il calcolo tensoriale, ma sceglie un punto di vista anti-geometrico che non sarà quello del corso].

"Relativity: special, general and cosmological". W. Rindler, Oxford University Press (2006) [eccellente libro, sopratutto per le discussioni su i principi e le conseguenze fisici].  

"Introduction to General Relativity", L. P. Hughston and K. P. Tod, Cambridge University Press (1990) [buon testo introduttivo].

"Corso di fisica teorica vol. 2: teoria dei campi", L. Landau, E. Lifchitz,  MIR Moscva (1989) [Presentazione sintetica della Relatività, forse non ottimo per un primo approccio ma alcuni argomenti sono presentati in modo limpidissimo]. 

 

DOCENTI E COMMISSIONI

Ricevimento: Su appuntamenti.

Commissione d'esame

PIERRE OLIVIER MARTINETTI (Presidente)

CLAUDIO BARTOCCI (Presidente)

NICOLA PINAMONTI (Presidente)

MARCO BENINI

LEZIONI

Modalità didattiche

Tradizionale.

Aggiornamento covid: la didattica sarà accessibiile in totalità online (probabilmente tramite sessioni Teams in diretta, con possibilità di registrareper chi vuole).

Possibilmente, secondo la situazione dell'epidemia a settembre, saranno organizzati un paio di incontri in presenza (facoltative) per discussione, domande etc.

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

ORARI

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

Vedi anche:

METODI MATEMATICI IN RELATIVITA' GENERALE

ESAMI

Modalità d'esame

Compitino da fare a casa, poi orale 

Modalità di accertamento

Il compitono (a casa) consiste a risolvere un problema legato ad un argomento di approfondimento del corso. Permette di illustrare la richezza concettuale della relatività generale, e anche di praticare concretamente i calcoli.

Non c'è voto per questo compitino, ma è obbligatorio consegnarlo per poter fare l'orale.

L'esame orale consiste nella verifica della comprensione dei concetti fisici di base delle relatività generale, e dell'abilità a manipolare gli strumenti matematici associati (in particolare il calcolo tensoriale).

 

ALTRE INFORMAZIONI

Prerequisiti:

Conoscenza in geometria differenziale e/o in relatività speciale rendono la comprensione di questo corso più facile, ma non sono prerequisiti.

Tutti gli strumenti di geometria differenziale necessari al corso saranno spiegati in dettaglio durante le lezioni.

Rudimenti di relatività speciale saranno anche dati.