TRATTAMENTO NUMERICO DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

TRATTAMENTO NUMERICO DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

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iten
Codice
61473
ANNO ACCADEMICO
2020/2021
CFU
8 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/08
LINGUA
Italiano
SEDE
GENOVA (MATEMATICA)
periodo
2° Semestre
materiale didattico

PRESENTAZIONE

L'insegnamento, dopo un richiamo sui metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (ODE) fornisce i concetti di base sull'approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali (PDE).

Le lezioni si tengono in lingua italiana.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Richiami sui metodi numerici maggiormente usati per la risoluzione di problemi di Cauchy. Comprensione delle principali problematiche che si devono affrontare nella soluzione di PDE con metodi alle differenze finite; capacità di implementare i corrispondenti algoritmi di soluzione in casi relativamente semplici, di utilizzare i programmi così ottenuti per effettuare sperimentazioni numeriche e di interpretare i risultati di quest’ultime.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La parte finale dell'insegnamento è dedicata alla trattazione di base del metodo agli elementi finiti.

 

PREREQUISITI

Il corso si basa sulle nozioni analitiche e numeriche svolte sulle Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE), rispettivamente in Analisi 2 e Fondamenti di Calcolo Numerico; usa inoltre strumenti di calcolo differenziale in più variabili (ad esempio la formula di Taylor) introdotti nelle Analisi del II anno.

Riguardo alle Equazioni alle Derivate Parziali (PDE), le lezioni cercano di essere autocontenute; è comunque utile avere seguito Equazioni Differenziali e/o Modelli di Sistemi Continui e Applicazioni.

L'ultima parte del corso, dedicata agli Elementi Finiti, ha come prerequisito IAS1.

Modalità didattiche

Tradizionale

La prima parte dell'insegnamento si svolge in aula; nella parte sulle PDE si alternano lezioni in aula (4 ore settimanali) e in laboratorio (2 ore settimanali a partire dalla quarta settimana, che vengono raddoppiate nell'ultima parte del semestre).

PROGRAMMA/CONTENUTO

Equazioni alle differenze: il caso lineare a coefficienti costanti. Richiami sui metodi di Runge-Kutta e Multistep per problemi di Cauchy ai valori iniziali: consistenza, convergenza, stabilità, controllo automatico del passo. Approssimazioni alle differenze finite di problemi ai valori iniziali e/o al contorno per PDE ellittiche, paraboliche ed iperboliche. Metodi espliciti ed impliciti. Consistenza, stabilità, convergenza. Trattazione di base dei metodi agli elementi finiti e cenni ai volumi finiti. Esercitazioni di laboratorio in Matlab sui metodi studiati.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

- J. D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, London, 1973.
- J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Second Edition, SIAM Publications, 2004.

Quarteroni, A.; Valli, A., Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin etc., Springer-Verlag 1994.
- dispense a cura di P. Fernandes (su Aulaweb)

DOCENTI E COMMISSIONI

Ricevimento: Nei giorni di lezione 13-14 previo appuntamento per email.

LEZIONI

Modalità didattiche

Tradizionale

La prima parte dell'insegnamento si svolge in aula; nella parte sulle PDE si alternano lezioni in aula (4 ore settimanali) e in laboratorio (2 ore settimanali a partire dalla quarta settimana, che vengono raddoppiate nell'ultima parte del semestre).

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

ESAMI

Modalità d'esame

Il voto finale d'esame tiene conto del voto di laboratorio (che fa le veci di uno scritto) e della prova orale. 

Modalità di accertamento

L'attività di laboratorio è a gruppi. La valutazione tiene conto di un progettino inerente le PDE che viene assegnato (eventualmente in modo "personalizzato") intorno alla quarta settimana, e prevede la consegna di una relazione scritta sui risultati ottenuti, corredata da eventuali commenti e dai programmi Matlab in forma elettronica, completi e funzionanti. Non è fissata una data obbligatoria di scadenza per le consegne.

Scopo principale della prova è valutare la capacità degli studenti di applicare la teoria svolta a lezione implementando in programmi di calcolo i metodi numerici studiati, spiegandone il comportamento e interpretandone i risultati.

La valutazione (in trentesimi) viene di norma comunicata dopo 7-10 giorni dalla consegna ed è definitiva. Non è quindi permessa la ripetizione della prova; salvo diverse decisioni dei docenti (comunicate per tempo) il voto ha durata illimitata.

 

La prova orale prevede:

  • Un seminario in cui lo studente è chiamato ad esporre in 15 minuti un argomento sugli Elementi Finiti; al gruppo verrà preventivamente assegnato un insieme ampio di argomenti,all'interno del quale ogni studente sceglierà la parte da esporre (distinta dagli altri studenti che sostengono l'orale nello stesso appello).
  • Successivamente, l'esposizione di un argomento sulle Differenze Finite scelto al momento dai docenti della commissione d'esame.

In entrambi i casi si valuta il grado di comprensione dell'argomento, la capacità di esposizione e di collegamento tra i vari concetti, nonché (soprattutto sul primo argomento) la capacità di sintesi.

In caso di ripetizione dell'orale, il seminario sugli Elementi Finiti non va ripetuto: lo studente può scegliere se farlo entrare nella valutazione di esame (con una sola domanda sulle Differenze Finite, che in caso contrario diventano 2).