ANALISI DI FOURIER

ANALISI DI FOURIER

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iten
Codice
61682
ANNO ACCADEMICO
2019/2020
CFU
8 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/05
LINGUA
Italiano
SEDE
GENOVA (MATEMATICA)
periodo
1° Semestre
materiale didattico

PRESENTAZIONE

L'insegnamento presenta un'introduzione all'analisi di Fourier.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è fornire un'introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro e sulla retta.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivi formativi

Lo scopo dell'insegnamento è quello di fornire i contenuti di base dell'analisi di Fourier che sono ritenuti fondamentali per la preparazione degli studenti della laurea magistrale in matematica.

Risultati di apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà conoscere i concetti teorici introdotti a lezione, costruire e discutere esempi relativi a ciascuno di essi (in modo da comprendere meglio i concetti astratti), effettuare/ricostruire le dimostrazioni viste a lezione o facili varianti di queste e risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento.

PREREQUISITI

I concetti di base di analisi funzionale e teoria della misura (Istituzioni di Analisi Superiore 1).

Modalità didattiche

L'insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dal docente in cui viene esposta la teoria e in cui vengono discussi esempi di base (quattro ore alla settimana). Queste sono integrate da esercitazioni (due ore alla settimana): agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi e di discuterli con il docente e gli altri studenti.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Serie di Fourier.

Coefficienti di Fourier di una serie trigonomertrica. Teoria L^2, Teoria L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, di Fejer e di Poisson e loro proprietà. Medie di Cesaro. Definizione di identità approssimata. Convoluzione in L^1. Continuità delle traslazioni in L^1. Iniettività della trasformata, inversione per trasformate in l^1 . Inversione in L^1 mediante identità approssimate. Teorema di Dirichlet. Enunciati dei teoremi di Du Bois Reymond, Carleson e Katznelson. Successioni a decrescenza rapida. Caratterizzazione di C-infinito. Derivate di convoluzioni. Convergenza della serie di Fourier: funzioni regolari a tratti e funzioni continue con derivata continua a tratti. Il fenomeno di Gibbs. Applicazioni: il calore della terra, sul filo e sul disco. Nucleo di Gauss-Weierstrass.

Trasformata di Fourier in R 

Definizione dello spazio di Schwartz e proprietà di densità. Convoluzione in R. Identità approssimate. Il nucleo del calore. Introduzione informale alla trasformata di Fourier F: serie su intervalli crescenti. Proprietà della trasformata di Fourier. Formula di moltiplicazione, teorema di convoluzione. Inversione in L^1. Formula di Poisson. Teoria L^2. La diseguaglianza di Young. Definizione di F su L^2. Proprietà di F. Teorema di convoluzione in L^2. Teorema di Paley-Wiener. Teorema di Shannon.

Applicazioni.

Analisi del segnale: trasformata di Gabor e sue proprietà fondamentali. La trasformata di Fourier discreta.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Dispense di Vincenza Del Prete (aulaweb).

Per consultazione

  • Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07
  • H. Dym - H. P. Mc Kean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972.
  • I. Korner, Fourier Analysis,1995.
  • I. Korner, Exercises for Fourier Analysis,1995.
  • E. Prestini, The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World Series, A Birkhäuser 2004
  • G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01
  • E.M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

DOCENTI E COMMISSIONI

Ricevimento: Su appuntamento

LEZIONI

Modalità didattiche

L'insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dal docente in cui viene esposta la teoria e in cui vengono discussi esempi di base (quattro ore alla settimana). Queste sono integrate da esercitazioni (due ore alla settimana): agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi e di discuterli con il docente e gli altri studenti.

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

ESAMI

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova orale.

Modalità di accertamento

Durante la prova orale vengono affrontati alcuni aspetti riguardanti la teoria svolta a lezione e viene richiesta la soluzione di qualche esercizio, relativo agli argomenti trattati a lezione. Questo consente di accertare le conoscenze degli studenti e le loro abilità a metterle in pratica.