METODI GEOMETRICI IN FISICA MATEMATICA

METODI GEOMETRICI IN FISICA MATEMATICA

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Codice
44142
ANNO ACCADEMICO
2018/2019
CFU
5 cfu al 1° anno di 9011 MATEMATICA (LM-40) GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE
MAT/07
LINGUA
Italiano (Inglese a richiesta)
SEDE
GENOVA (MATEMATICA)
periodo
2° Semestre
moduli
Questo insegnamento è un modulo di:
materiale didattico

PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana. Si possono svolgere in lingua inglese su richiesta.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

La finalità del corso è di fornire un’introduzione alle teorie di gauge. In particolare, dopo aver introdotto le necessarie nozioni di geometria differenziale (teoria della connessioni su fibrati vettoriali e principali, teoria di Hodge), si affronteranno alcuni aspetti salienti delle teorie di Yang-Mills su varietà 4-dimensionali riemanniane, arrivando a studiare la struttura locale dello spazio dei moduli di istantoni.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso sviluppa una serie di argomenti di geometria differenziale con particolare attenzione alle varietà riemanniane e alle varietà di Kähler; sono messe in evidenze alcune relazioni con la fisica matematica (teorie di gauge) e con la geometria algebrica.

Modalità didattiche

Tradizionale: (Il sostantivo "erogazione" è qui usato in senso improprio nel senso di "presentazione" o "esposizione" delle lezioni. Ecco, per esempio, la definizione che si legge nel Grande Dizionario della Lingua Italiana di Salvatore Battaglia: "Erogazióne, sf. L'erogare, il destinare somme di denaro. – In partic.: l'elargire somme per beneficenza; generosità, munificenza. – In senso concreto: la somma erogata, l'aiuto prestato. 2. Distribuzione, emissione (di acqua, di luce elettrica, di gas). – Anche scherz.")

PROGRAMMA/CONTENUTO

Metodi Geometrici in Fisica Matematica

a.a. 2013-2014

Programma del corso

1. FIBRATI, CONNESSIONI E GRUPPI DI OLONOMIA
• Fibrati vettoriali e loro operazioni; fibrati vettoriali con struttura metrica.
• Connessioni lineari su fibrati vettoriali; la 2-forma di curvatura; equazioni strutturali di Cartan e identità di Bianchi; connessione di Levi-Civita generalizzata.
• Fibrati principali; campi vettoriali fondamentali.
• Connessioni su fibrati principali; relazioni tra fibrati vettoriali e fibrati principali; gruppo delle trasformazioni di gauge
• Gruppi di olonomia; torsione intrinseca
• Classificazione dei gruppi di olonomia riemanniani (enunciato del teorema di Berger ed esempi).
2. ARGOMENTI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA
• Geodetiche e trasporto parallelo.
• Il caso delle superficie; "theorema egregium"; teorema di Gauss-Bonnet.
• Il teorema di Hopf-Rinow
• Spazi simmetrici
3. INTRODUZONE ALLE VARIETÀ DI KÄHLER
• Introduzione alle varietà complesse
• Varietà di Kähler; l'esempio dello spazio proiettivo complesso
• Il caso delle superficie di Riemann; curve algebriche
4. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DI HODGE 
• Operatori differenziali su varietà riemanniane
• Richiami sulla coomologia di de Rham
• Teorema di Hodge
• Teorema di decomposizione di Hodge per varietà di Kähler compatte
• Equazioni ASD; istantoni su S4.

 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Riferimenti bibliografici/Refences

M. Atiyah, Geometry of Yang-Mills Fields, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei & Scuola Normale Superiore, Pisa 1979.

C. Bartocci, Fibrati vettoriali, connessioni e forme differenziali, appunti online.

S.K. Donaldson & P.B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, Clarendon Press, Oxford 1990.

D.S. Freed e K.K. Uhlenbeck, Instantons and Four-Manifolds, Springer-Verlag, New York 1984.

D. Joyce, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford University Press, Oxford 2000.

S. Kobayashi, Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1987.

J.W. Morgan, An Introduction to Gauge Theory, in: Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds, R. Friedman & J.W. Morgan eds., IAS/Park City Mathematics Series vol. 4, American Mathematical Society and Institute for Advanced Study, 1998.

C. H. Taubes, Differential Geometry. Bundles, Connections, Metrics and Curvature, Oxford University Press, Oxford 2011.

R.O. Wells, Jr., Differential Analysis on Complex Manifolds, third edition, Springer, New York 2008.

DOCENTI E COMMISSIONI

Ricevimento: Su appuntamento (preferibilmente via email)

Commissione d'esame

NICOLA PINAMONTI (Presidente)

PIERRE OLIVIER MARTINETTI (Presidente)

CLAUDIO BARTOCCI (Presidente)

LEZIONI

Modalità didattiche

Tradizionale: (Il sostantivo "erogazione" è qui usato in senso improprio nel senso di "presentazione" o "esposizione" delle lezioni. Ecco, per esempio, la definizione che si legge nel Grande Dizionario della Lingua Italiana di Salvatore Battaglia: "Erogazióne, sf. L'erogare, il destinare somme di denaro. – In partic.: l'elargire somme per beneficenza; generosità, munificenza. – In senso concreto: la somma erogata, l'aiuto prestato. 2. Distribuzione, emissione (di acqua, di luce elettrica, di gas). – Anche scherz.")

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

ORARI

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile su EasyAcademy.

Vedi anche:

METODI GEOMETRICI IN FISICA MATEMATICA

ESAMI

Modalità d'esame

Orale

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata